Question

如图：AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，AD=40cm，四边形PQRS是正方形，并且正方形的边长为30cm．
（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？
（2）能否求出△ASR与△ABC的面积比？并说明理由．

Answer 1

（1）解：△ASR∽△ABC，
理由是：∵四边形PQRS是正方形，
∴RS∥PQ，
即RS∥BC，
∴△ASR∽△ABC．

（2）解：能求出△ASR与△ABC的面积比，
理由是：∵四边形PQRS是正方形，
∴SR∥PQ，SR=SP，∠SPQ=90°，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥SR，
∴SP∥AD，
∴四边形SPDE是矩形，
∴SP=DE，
正方形PQRS的边长为30cm，
∴SR=SP=DE=30cm，
∴AE=AD-DE=10cm，
∵SR∥BC，
∴△ASR∽△ABC．
∴===，
即能求出△ASR与△ABC的面积比，是．
分析：（1）根据正方形性质得出SR∥BC，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）求出DE=SP=30cm，求出AE的长，根据平行线得出两三角形相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的对应高之比等于相似比，即可求出答案．
点评：本题考查了正方形的性质和相似三角形的性质和判定的应用，注意：正方形的对边相等且平行，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的对应高之比等于相似比．