Question

当m为整数时，关于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．

Answer 1

当m为整数时，关于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0没有有理根．理由如下：
①当m为整数时，假设关于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0有有理根，则要△=b²-4ac为完全平方数，而△=（2m+1）²-4（2m-1）=4m²-4m+5=（2m-1）²+4，
设△=n²（n为整数），即（2m-1）²+4=n²（n为整数），所以有（2m-1-n）（2m-1+n）=-4，
∵2m-1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，所以

2m-1-n=2 2m-1+n=-2

或

2m-1-n=-2 2m-1+n=2

，
解得m=

1

2

或m=-

1

2

（都不合题意舍去）．
②2m-1=0时，m=

1

2

（不合题意舍去）．
所以当m为整数时，关于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0没有有理根．