Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠B的平分线交AC于D，且BC=BD=AD，则

CD

BC

的值为

5 -1

2

．

Answer 1

分析：由AB=AC，推出∠ABC=∠ACB，再由BC=BD=AD，∠ABC平分∠B，即可推出∠A=∠ABD=∠DBC，∠C=∠BDC=∠ABC，可求得∠ABC=2∠A，∠C=2∠A，然后根据三角形内角和定理即可推出∠A=∠ABD=∠DBC=36°，∠C=∠BDC=∠ABC=72°，求出

BC

AB

=

5 -1

2

，通过求证△BDC∽△ABC，推出

CD

BC

=

BC

AB

．

解答：解：设

CD

BC

=

CD

AD

=x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BC=BD=AD，BD的平分∠ABC，
∴∠A=∠ABD=∠DBC，∠C=∠BDC=∠ABC，
∴∠ABC=2∠A，∠C=2∠A，
∴∠A=∠ABD=∠DBC=36°，∠C=∠BDC=∠ABC=72°，
∵∠ABC=∠C=∠BDC，
∴△BCD∽△ABC．
∴

BC

CD

=

AC

BC

，
又BC=BD=AD，
∴AD²=AC•DC．
∵AD²=AC•DC，

CD

BC

=

CD

AD

=x，AC=AD+CD，
∴AD²=（AD+CD）•CD，
AD²=（AD+x•AD）•x•AD，
x（1+x）=1，
x²+x-1=0，
x=

-1± 5

2

（负值舍去）．
即x=

-1+ 5

2

，
故答案为

5 -1

2

．

点评：本题主要考查顶角为36°角的等腰三角形的特殊性质，相似三角形的判定及性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键熟练掌握相关的性质定理，推出∠A=∠ABD=∠DBC=36°，∠C=∠BDC=∠ABC=72°，

BC

AB

=

5 -1

2

．