Question

如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）求证：AC=BD；
（2）若sin∠C=，BC=12，求AD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于tanB=cos∠DAC，所以根据正切和余弦的概念证明AC=BD；
（2）设AD=12k，AC=13k，然后利用题目已知条件即可解直角三角形．
解答：（1）证明：∵AD是BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB=，cos∠DAC=，
又∵tanB=cos∠DAC，
∴=，
∴AC=BD．

（2）解：在Rt△ADC中，，
故可设AD=12k，AC=13k，
∴CD==5k，
∵BC=BD+CD，又AC=BD，
∴BC=13k+5k=18k
由已知BC=12，
∴18k=12，
∴k=，
∴AD=12k=12×=8．
点评：此题考查解直角三角形、直角三角形的性质等知识，也考查逻辑推理能力和运算能力．