Question

如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=DC，∠BAD=120°
（1）求证：AB=AD；
（2）如图2，点M在边CD上（端点除外），点N在边BC上，∠MAN=∠BCD，连接MN
①试判断线段BN、NM、MD之间的数量关系，并给出证明；
②若CM=4，DM=1，则CN的长为______（请直接写出）
⊥⊥

Answer 1

（1）证明：连接AC，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴AB=AD；

（2）解：①如图，把△ADM绕点A顺时针旋转120°得到△ABH，
∴AH=AM，BN=MD，∠BAH=∠DAM，
在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，
∴∠BCD=360°-90°×2-120°=60°，
∵∠MAN=∠BCD，
∴∠NAH=∠BAH+∠BAN=∠DAM+∠BAN=∠BAD-∠MAN=120°-60°=60°，
∴∠NAH=∠NAM，
在△AMN和△AHN中，
，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴NM=NH，
∵NH=BN+BH=BN+DM，
∴NM=BN+DM；

②连接AC，过点M作ME⊥AC于E，
∵Rt△ABC≌Rt△ADC，∠BCD=60°，
∴∠ACD=×60°=30°，
∴ME=CM=×4=2，CE=CM•cos30°=4×=2，
AC=CD÷cos30°=（4+1）÷=，
AD=CD•tan30°=（4+1）•=，
∴AE=AC-CE=-2=，
AB=AD=，
∵∠BAN+∠CAN=90°-30°=60°，
∠EAM+∠CAN=∠MAN=60°，
∴∠BAN=∠EAM，
又∵∠B=∠AEM=90°，
∴△ABN∽△AEM，
∴=，
即=，
解得BN=，
∴CN=BC-BN=DC-BN=（4+1）-=．
分析：（1）连接AC，利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△ADC全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）①把△ADM绕点A顺时针旋转120°得到△ABH，根据旋转的性质可得AH=AM，BN=DM，∠BAH=∠DAM，根据四边形的内角和定理求出∠BCD=60°，然后求出求出∠NAH=60°，从而得到∠NAH=∠NAM，再利用“边角边”证明△AMN和△AHN全等，根据全等三角形对应边相等可得NM=NH，然后整理即可得解；
②连接AC，过点M作ME⊥AC于E，然后求出ME、CE、AC、AD，再求出AE，然后求出∠BAN=∠EAM，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出△ABN和△AEM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BN，再根据CN=BC-BN代入数据进行计算即可得解．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，（2）①难点在于利用旋转作出全等三角形，②难点在于作辅助线构造出相似三角形．