Question

如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．

（1）若BD平分∠ABC，求证CE=BD；

（2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。

Answer 1

（1）延长BA、CE相交于点F，先证△BEC≌△BEF(ASA)（3分），

∴CE=FE，∴CE=CF．∵∠BAC是直角，∴∠BAD=∠CAF=90°，

而∠F+∠FBE=∠FCA+∠F=90°，∴∠ACF=∠FBE（4分），

又∵AC=AB，∴△BAD≌△CAF(ASA)，∴BD=CF，即CE=BD（5分）

（2）∠AEB不变为45°（6分）理由如下：

过点A作AH⊥BE垂足为H，作AG⊥CE交CE延长线于G，

先证∠ACF=∠ABD（8分）得△BAH≌△CAG(AAS)，∴AH=AG（9分）

而AH⊥EB，AG⊥EG，∴EA平分∠BEF，∴∠BEA=∠BEG=45°（10分）

  或：由⑴证得△BAD≌△CAF(ASA)，△BAD的面积=△CAF的面积，

∴BD•AH=CF•AG，而BD=CF，∴AH=AG（余下同上）．