Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-2，0）、B（8，0），与y轴交于点C（0，-4）．直线y=x+m与抛物线交于点D、E（D在E的左侧），与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m=2时，求∠DCF的大小．

Answer 1

分析：（1）利用交点式求出a的值进而得出二次函数解析式即可；
（2）利用（1）中所求解析式进而得出m的值，再利用函数解析式求出F、D两点的坐标，进而得出F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上，则∠DCF=

1

2

∠DMF=45°．

解答：解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8）
∵抛物线与y轴交于点C（0，-4），
∴-4=a（0+2）（0-8），
解得：a=

1

4

，
∴抛物线的解析式为y=

1

4

(x+2)(x-8)，
即y=

1

4

x2-

3

2

x-4；

（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x=3，
∵m=2，
∴直线的解析式为y=x+2，
∵直线y=x+2与抛物线交于点D、E，与抛物线的对称轴交于点F，
∴F、D两点的坐标分别为F（3，5），D（-2，0），
设抛物线的对称轴与x轴的交点为M 可得 CM=FM=MD=5，
∴F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上，
∴∠DCF=

1

2

∠DMF=45°．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及圆周角定理和交点式求二次函数解析式等知识，利用数形结合得出F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上是解题关键．