Question

【题目】如图，在锐角中，以为直径的交于点，过点作的切线交边于点，连结．

（1）求证：．

（2）若，，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OD，如图，首先利用切线的性质，得；然后利用圆周角定理的推论，得，则；再根据等腰三角形的性质，得，从而得．

（2）过E作于H，如图，首先由已知，，得和的长度；然后在Rt△ABD中，利用和正切的定义，得的长，在Rt△CDB和Rt△ABD中，根据正切的定义得到和的值，由，即可得的值；设，在Rt△CHE和Rt△DHE中，分别根据、的值和正切的定义，用含x的式子表示出和，再根据的长度关系，列出方程求得x的值，然后在在Rt△DHE中，利用勾股定理即可计算出DE的长．

（1）如图，连结，

∵是切线，∴OD⊥DE，

∴，

∵是直径，∴

∴，

∴，

∵，∴，

∴．

（2）如图，过E作于H，

∵，，∴，，

又∵，

∴在Rt△ABD中，，

∴在Rt△CDB中，；在Rt△ABD中，，

∵，

∴，

设，则在Rt△CHE中，；在Rt△DHE中，，

∵，∴，解得，

∴，，

∴．