Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．
（1）求证：直线BD与⊙O相切；
（2）若AD：AE=，BC=6，求切线BD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）如图，连接OD，欲证明直线BD与⊙O相切，只需证明OD⊥BD即可；
（2）连接DE．利用圆周角定理和三角形中位线定理易求DE的长度，而AD：AE=，在直角△ADE中，利用勾股定理即可求得AE的长度；最后利用切割线定理来求切线BD的长度．
解答：（1）证明：∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO（等边对等角）．
又∵∠A+∠CDB=90°（已知），
∴∠ADO+∠CDB=90°（等量代换），
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°，即BD⊥OD．
又∵OD是圆O的半径．
∴BD是⊙O切线；

（2）解：连接DE，则∠ADE=90°（圆周角定理）．
∵∠C=90°，
∴∠ADE=∠C，
∴DE∥BC，
又∵D是AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=3，AE=BE．
∵AD：AE=，
在直角△ADE中，利用勾股定理求得AE=3，则AB=6．
∴BD²=AB•BE=6×3=54，
∴BD=3．
点评：本题主要考查了切线的判定与性质．其中要证某直线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．