Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y₁=2x与直线y₂=-6x+48交于点A，另有一直线平行于x轴，分别交线段OA、BA于M、N两点，则在x轴上是否存在一点R，使得△RMN为等腰直角三角形？若存在，求出R点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题,分类讨论

分析：设点M的横坐标为a，代入直线y₁=2x求出点M的纵坐标，从而得到点M的坐标，即为点N的纵坐标，代入直线y₂=-6x+48求出点N的横坐标，然后求出MN的长度，然后分①点M、N是直角顶点时MR=MN，NR=MN，然后列出方程求出a的值，即可得到点R的坐标；②∠MRN=90°时，点M的纵坐标等于

1

2

MN，列出方程求出a的值，再根据等腰直角三角形的性质求出点R的横坐标，然后写出点R的坐标即可．

解答：解：设点M的横坐标为a，
∵点M在直线y₁=2x上，
∴y=2a，
∴点M的坐标为（a，2a），
∵MN∥x轴，
∴点N的纵坐标与点M的纵坐标相等，为2a，
∴-6x+48=2a，
解得x=

24-a

3

，
∴点N的坐标为（

24-a

3

，2a），
∴MN=

24-a

3

-a=

24-4a

3

，
①点M（N）是直角顶点时MR=MN（NR=MN），

24-4a

3

=2a，
解得a=

12

5

，

24-a

3

=

24- 12 5

3

=

36

5

，
∴点R的坐标为（

12

5

，0）或（

36

5

，0）；
②∠MRN=90°时，2a=

1

2

MN=

1

2

×

24-4a

3

，
整理得，24-4a=12a，
解得a=

3

2

，
∵△MNR是等腰直角三角形，
∴点R的横坐标为a+

1

2

MN=a+2a=3a=

3

2

×3=

9

2

，
∴点R的坐标为（

9

2

，0），
综上所述，在x轴上是否存在一点R（

12

5

，0）或（

36

5

，0）或（

9

2

，0），使得△RMN为等腰直角三角形．

点评：本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，设出点M的横坐标，然后表示出MN的长度，再根据等腰直角三角形的性质分情况列出方程是解题的关键，也是本题的难点．