Question

【题目】如图①，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I.根据下列条件，求∠BIC的

度数。

（1）若∠ABC=60°，∠ACB=70°,则∠BIC=

（2）若∠ABC+∠ACB=130°，则∠BIC=

（3）若∠A=50°，则∠BIC=

（4）若∠A=110°，则∠BIC=

（5）从上述计算中，我们能发现已知∠A，求∠BIC的公式是：∠BIC= .

（6）如图②，BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，交于点P.

若已知∠A，则求∠BPC的公式是：∠BPC=

Answer 1

【答案】(1)115°；(2)115°；(3)115°(4)145°(5)90°+∠A：（6）90°-∠A.

【解析】试题分析：根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求解即可．

试题解析：解：（1）∵BI是∠ABC的平分线，∠ABC=60°，∴∠CBI=∠ABC=30°．

∵CI是∠ACB的平分线，∠ACB=70°，∴∠BCI=∠ACB=35°．

在△BCI中，∵∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°，∴∠BIC=180°﹣30°﹣35°=115°；

（2）∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线，∴∠CBI=∠ABC，∠BCI=∠ACB，∴∠CBI+∠BCI=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°．

在△BCI中，∵∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°，∴∠BIC=180°﹣65°=115°；

（3）在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=130°．

∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线，∴∠CBI=∠ABC，∠BCI=∠ACB，

∴∠CBI+∠BCI=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°．

在△BCI中，∵∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°，∴∠BIC=180°﹣65°=115°；

（4）在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=110°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=70°．∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线，∴∠CBI=∠ABC，∠BCI=∠ACB，∴∠CBI+∠BCI=（∠ABC+∠ACB）=×70°=35°．

在△BCI中，∵∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°，∴∠BIC=180°﹣35°=145°；

（5）在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A．

∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线，∴∠CBI=∠ABC，∠BCI=∠ACB，

∴∠CBI+∠BCI=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．

在△BCI中，∵∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°，∴∠BIC=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+∠A；

（6）∵∠CBD，∠BCE是△ABC的外角，∴∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，

∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A．

∵BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，∴∠CBP=∠CBD，∠BCP=∠BCE

∴∠CBP+∠BCP=（∠CBD+∠BCE）=（180°+∠A）=90°+∠A．

在△BCP中，∵∠BCP+∠CBP+∠BPC=180，∴∠BPC=180°﹣（90°+∠A）=90°﹣∠A．