Question

【题目】如图，在中，，点是边上的动点，连接，以为斜边在的下方作等腰直角三角形．

（1）填空：的面积等于 ；

（2）连接，求证：是的平分线；

（3）点在边上，且， 当从点出发运动至点停止时，求点相应的运动路程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；

（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM≌△DEN（AAS），得到ME=NE，即可利用角平分线的判定证明；

（3）由（2）可知点E在∠ACB的平分线上，当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=，根据CD的长度计算出CE的长度即可．

解：（1）

∴，

故答案为：

（2）连接CE，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，

∴∠EMA=∠END=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠MEN=90°，

∴∠MED+∠DEN=90°，

∵△ADE是等腰直角三角形

∴∠AED=90°，AE=DE

∴∠AEM+∠MED=90°，

∴∠AEM=∠DEN

∴在△AEM与△DEN中，

∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN，AE=DE

∴△AEM≌△DEN（AAS）

∴ME=NE

∴点E在∠ACB的平分线上，

即是的平分线

（3）由（2）可知，点E在∠ACB的平分线上，

∴当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，

∵△AEM≌△DEN

∴AM=DN，

即AC-CM=CN-CD

在Rt△CME与Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，

∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）

∴CM=CN

∴CN=，

又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，

∴CE=，

当AC=3，CD=CO=1时，

CE=

当AC=3，CD=CB=7时，

CE=

∴点E的运动路程为：，