Question

【题目】如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，AC=，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F

（1）求证：；

（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；

（3）设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥BD；（3）．

【解析】（1）证明：∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，∴∠ECB=∠PCD=45°，∠CEB=∠CPD=90°，∴△BCE∽△DCP，∴；

（2）解：AC∥BD，理由：∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°，∴∠PCE=∠BCD，又∵，∴△PCE∽△DCB，∴∠CBD=∠CEP=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CBD，∴AC∥BD；

（3）解：如图所示：作PM⊥BD于M，∵AC=，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，∴BE=CE=4，∵△PCE∽△DCB，∴，即，∴BD=，∵∠PBM=∠CBD﹣∠CBP=45°，BP=BE+PE=4+x，∴PM=，∴△PBD的面积：S=BDPM==，∴．