Question

如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．
（1）试说明四边形EHFG是平行四边形．
（2）平行四边形ABCD满足什么条件EHFG会成为一个菱形？说出你的理由．
（3）平行四边形ABCD再满足什么条件EHFG就会成为一个正方形？说出你的理由．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，AB=CD，
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
同理可得DE∥BF，
∴四边形FGEH是平行四边形；

（2）当平行四边形ABCD是矩形时，平行四边形EHFG是菱形．
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴BE=CF，
在△EBC与△FCB中，
∵，
∴△EBC≌△FCB，
∴CE=BF，
∠ECB=∠FBC，
BH=CH，
EH=FH，
平行四边形EHFG是菱形；


（3）当平行四边形ABCD是矩形，并且AB=2AD时，
平行四边形EHFG是正方形．
∵E，F分别为AB，CD的中点，且AB=CD，
∴AE=DF，且AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴AD=EF，
又∵AB=2AD，E为AB中点，则AB=2AE，
于是有AE=AD=AB，
这时，EF=AE=AD=DF=AB，∠EAD=∠FDA=90°，
∴四边形ADFE是正方形，
∴EG=FG=AF，AF⊥DE，∠EGF=90°，
∴此时，平行四边形EHFG是正方形．
分析：（1）通过证明两组对边分别平行，可得四边形EHFG是平行四边形；
（2）当平行四边形ABCD是矩形时，通过证明有一组邻边相等，可得平行四边形EHFG是菱形；
（3）当平行四边形ABCD是矩形，并且AB=2AD时，先证明四边形ADFE是正方形，得出有一个内角等于90°，从而证明菱形EHFG为一个正方形．
点评：本题属于综合题，考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定和正方形的判定，注意找准条件，有一定的难度．