Question

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x²+（m-1）x+4m的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）．
（1）求m的值及点A的坐标；
（2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B、BE′．
①当点E′落在该二次函数的图象上时，求AA′的长；
②设AA′=n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示A′B²+BE′²，并求出使A′B²+BE′²取得最小值时点E′的坐标；
③当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标．

Answer 1

解：（1）由题意可知：4m=4，
解得：m=1．
∴二次函数的解析式为：y=-x²+4，
当y=0时，0=-x²+4，
解得：x₁=2，x₂=-2，
∴点A的坐标为（-2，0）．

（2）①∵点E（0，1），由题意可知，-x²+4=1．
解得：．
∴AA′=；

②如图，连接EE′．
由题设知AA′=n（0＜n＜2），则A′O=2-n．
在Rt△A′BO中，由A′B²=A′O²+BO²，
得A′B²=（2-n）²+4²=n²-4n+20．
∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，
∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．
∴∠BEE′=90°，EE′=n．
又BE=OB-OE=3．
∴在Rt△BE′E中，BE′²=E′E²+BE²=n²+9，
∴A′B²+BE′²=2n²-4n+29=2（n-1）²+27．
当n=1时，A′B²+BE′²可以取得最小值，此时点E′的坐标是（1，1）；

③如图，过点A作AB′⊥x轴，并使AB′=BE=3，
在△BEE′和△B′AA′中，
，
∴△AB′A′≌△EBE′（SAS），
∴B′A′=BE′，
∴A′B+BE′=A′B+B′A′．
当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．
此时点B，A′，B′在同一条直线上，
∴∠AA′B′=∠BA′O，∠B′AA′=∠BOA′，
∴△AB′A′∽△OBA′，
∴，
∴AA′=，
∴EE′=AA′=，
∴点E′的坐标是（，1）．
分析：（1）根据抛物线与y轴交于点B（0，4），进而代入求出m的值即可；
（2）①点E（0，1），由题意可知，-x²+4=1，即可得出x的值，进而得出AA′的长；
②连接EE′，利用勾股定理得出当n=1时，A′B²+BE′²可以取得最小值；
③首先证明△AB′A′≌△EBE′（SAS），进而得出当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值，利用△AB′A′∽△OBA′，
得出EE′=AA′的值，进而得出点E′的坐标．
点评：此题主要考查了二次函数的综合以及相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及勾股定理、线段最小值问题等知识，得出当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小是解题关键．