Question

如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于Q点。

（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）求证：；
（3）若∠ABP=15°，△ABC的面积为4，求PC的长．

Answer 1

解：（1）∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°， ∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）如图，过B作BD∥PA交PC于D，则∠BDP=∠APC=60°， 又∵∠AQP=∠BQD， ∴△AQP∽△BQD，， ∵∠BPD=∠BDP=60°， ∴PB=BD， ∴； （3）设正△ABC的高为h，则h=BC·sin60°， ∵BC·h=4，即BC·BC·sin60°=4，解得BC=4， 连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E， 由△ABC是正三角形知∠BOC=120°，从而得∠OCE=30°， ∴， 由∠ABP=15°得∠PBC=∠ABC+∠ABP=75°，于是∠POC=2∠PBC=150°， ∴∠PCO=（180°-150°）÷2=15°， 如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G， 使∠GNM=15°，则∠RNG=30°，作GH⊥RN，垂足为H， 设GH=1，则cos∠GNM=cos15°=MN， ∵在Rt△GHN中，NH=GN·cos30°，GH=GN·sin30°， 于是RH=GH，MN=RN·sin45°， ∴cos15°=， 在图中，作OF⊥PC于E， ∴PC=2FD=2OC·cos15°=。