Question

如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕CE=5

5

，且tan∠EDA=

3

4

．
（1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由；
（2）求直线CE与x轴交点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据折叠知∠CDE=∠B=90°，根据等角的余角相等得到∠CDO=∠AED，再结合一对直角，即可证明两个三角形相似；
（2）首先应求得点E的坐标，根据折叠知DE=BE，根据tan∠EDA=

3

4

，设AE=3t，则AD=4t，再根据勾股定理表示出DE=5t，即BE=5t，所以OC=AB=8t，再根据（1）中的两个相似三角形得到CD=10t，从而在直角三角形CDE中，根据勾股定理列方程计算．求得点E的坐标后，用待定系数法求得直线CE的解析式，再进一步求得与x轴的交点P的坐标．

解答：解：（1）△OCD与△ADE相似．
理由如下：
由折叠知，∠CDE=∠B=90°，
∴∠EDA+∠CDO=90°，
∵∠EDA+∠DEA=90°，
∴∠CDO=∠DEA，
又∵∠COD=∠DAE=90°，
∴△OCD∽△ADE；

（2）∵tan∠EDA=

AE

AD

=

3

4

，
∴设AE=3t，则AD=4t，
由勾股定理得DE=5t，
∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=8t，
由（1）△OCD∽△ADE，得

OC

AD

=

CD

DE

，
∴

8t

4t

=

CD

5t

，
∴CD=10t，
在△DCE中，∵CD²+DE²=CE²，
∴（10t）²+（5t）²=（5

5

）²，
解得t=1，
∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），
点E的坐标为（10，3），
设直线CE的解析式为y=kx+b，
∴

10k+b=3 b=8

，解得：

k=- 1 2 b=8

，
∴y=-

1

2

x+8，
令y=0，得到x=16，
则点P的坐标为（16，0）．

点评：掌握相似三角形的性质和判定，能够熟练运用勾股定理、锐角三角函数的概念、待定系数法求得函数的解析式．