Question

已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，，，取的中点M，连结，把沿x轴的负方向平移的长度后得到，
（1）试直接写出D点的坐标；
（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过P点作轴于点Q，连结，
    ①若以O、P、Q为顶点的三角形与相似，试求出点P的坐标；
    ②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得的值最大。

Answer 1

解：（1）依题意得：；
 （2）① ∵，，∴
  ∵抛物线经过原点， ∴设抛物线的解析式为
  又抛物线经过点与点
   ∴ 解得：
    ∴抛物线的解析式为
 ∵点P在抛物线上， ∴设点
1)若∽，则， ，解得：（舍去）或，
   ∴点
2)若∽，则， ，解得：（舍去）或，
  ∴点
   ②存在点T，使得的值最大
  抛物线的对称轴为直线，设抛物线与x轴的另一个交点为E，则点
   ∵点O、E点关于直线对称， ∴
  要使得的值最大，即是使得的值最大，
  根据三角形两边之差小于第三边可知，当T、E、B三点在同一直线上时，的值最大
  设过B、E两点的直线解析式为，
  ∴ 解得：
   ∴直线的解析式为，
  当时，
  ∴存在一点使得最大。