题目内容
如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是线段BC上的一动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．（1）当点D运动到BC的中点时，DE+DF=
| 24 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
（2）设BD=x，四边形AEDF的面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②问线段DE+DF的长是否随着D的移动而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出这一定值．
分析：（1）首先连接AD，由等腰三角形的性质，易求得BD=CD=3，AD⊥BC，继而求得AD的长，则可求得DE与DF的长；
（2）①首先作AH⊥BC于点H，可求得BH=CH=3，AH=4，然后设BD=x，可表示出DE与BE的长，继而求得y与x的函数关系式；
②利用三角形的面积，即可求得这一定值．
（2）①首先作AH⊥BC于点H，可求得BH=CH=3，AH=4，然后设BD=x，可表示出DE与BE的长，继而求得y与x的函数关系式；
②利用三角形的面积，即可求得这一定值．
解答：
解：（1）连接AD，
∵AB=AC=5，BC=6，点D运动到BC的中点，
∴BD=CD=3，AD⊥BC，
∴AD=
=4，
∴DE=
=
，
同理：DF=
，
∴DE+DF=
；
故答案为：
；
（2）①作AH⊥BC于点H，则BH=CH=3，AH=
=4，
∴cosB=
，sinB=
；
设BD=x，则DE=x•sinB=
，BE=x•cosB=
，
∴S△BED=
•
•
=
，
同理：S△CDF=
，
∴四边形AEDF的面积=
×6×4-
x2-
(6-x)2=-
(x-3)2+
；
②DE+DF的值是定值．
连结AD，则△ABC的面积=
AB•DE+
AC•DF=
BC•AH，
∴DE+DF=
=
．
解：（1）连接AD，∵AB=AC=5，BC=6，点D运动到BC的中点，
∴BD=CD=3，AD⊥BC，
∴AD=
| AB2-BD2 |
∴DE=
| AD•BD |
| AB |
| 12 |
| 5 |
同理：DF=
| 12 |
| 5 |
∴DE+DF=
| 24 |
| 5 |
故答案为：
| 24 |
| 5 |
（2）①作AH⊥BC于点H，则BH=CH=3，AH=| 52-32 |
∴cosB=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
设BD=x，则DE=x•sinB=
| 4x |
| 5 |
| 3x |
| 5 |
∴S△BED=
| 1 |
| 2 |
| 4x |
| 5 |
| 3x |
| 5 |
| 6x2 |
| 25 |
同理：S△CDF=
| 6(6-x)2 |
| 25 |
∴四边形AEDF的面积=
| 1 |
| 2 |
| 6 |
| 25 |
| 6 |
| 25 |
| 12 |
| 25 |
| 192 |
| 25 |
②DE+DF的值是定值．
连结AD，则△ABC的面积=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴DE+DF=
| 4×6 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
点评：此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
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