Question

【题目】如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（﹣6，0），P（x，y）是直线y=x+6上一个动点．

（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；

（2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为，求出此时点P的坐标；

（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）s=x+18（x＞﹣8）或s=﹣x﹣18（x＜﹣8）．（2）（﹣6.5， ）或（﹣9.5，﹣1.125）（3）存在P点，使△COD≌△FOE，P的坐标是（﹣， ）或（， ）．

【解析】试题分析：

（1）由已知条件可得OA=6，设点P的坐标为，则点P到OA的距离为，分点P在第一、二象限和第三象限两种情况分别讨论求出S与x间的关系式即可；

（2）把S=代入（1）中所得关系式，解出x的值即可求得对应的点P的坐标；

（3）如图，分点D在y轴的正半轴和负半轴两种情况结合已知条件讨论计算即可求得对应的点P的坐标.

试题解析：

（1）∵点A的坐标为（-6，0），

∴OA=6，

∵点P在直线上，

∴可设点P的坐标为，

∵直线与x轴交于点E，和y轴交于点F，

∴点E、F的坐标分别为（-8，0）和（0，6），

∴当点P在第一、二象限时，△OPA的面积S=·OA·=；

当点P在第三象限时，△OPA的面积S=·OA·=；

∴点P运动过程中，△OPA的面积s与x的函数关系式是S=或S=；

（2）把S=代入S=和S=得：

和，

解得： 或，

∴点P的坐标为或；

（3）假设存在P点，使△COD≌△FOE，则OD=OE=8，OC=OF=6，

①如图，当点D在y轴的负半轴时，点C在x轴的负半轴，

∵OD=8，OC=6，

∴点D、C的坐标分别为（0，-8）和（-6，0）,

设直线CD的解析式为：y=kx+b，则： ，解得 ，

∴，

由 解得： ，

∴点P的坐标为；

②如下图所示：当点D在y轴正半轴时，点C在x轴的正半轴，同理可解得此时点P的坐标为；

综上所述，存在P点，使△COD≌△FOE，P的坐标是或．