Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90⁰，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA、OB的中点分别为点E、F
【小题1】求证：
【小题2】求的值（3分）
【小题3】若直线EF与线段AD、BC分别相交于点G、H，求的值（3分）

Answer 1

【小题1】证明：∵EF是△OAB的中位线，
∴EF∥AB，EF=AB，
而CD∥AB，CD=AB，
∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，
∴△FOE≌△DOC；（3分）
【小题2】解：∵在Rt△ABC中，AC===BC，
∴sin∠OEF=sin∠CAB===；（3分）
【小题3】解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴==，即EG=CD，
同理FH=CD，
∴==．（3分）
解析:
（1）由EF是△OAB的中位线，利用中位线定理，得EF∥AB，EF=AB，又CD∥AB，CD=AB，可得EF=CD，由平行线的性质可证△FOE≌△DOC；
（2）由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=，由勾股定理得出AC与BC的关系，再求正弦值；
（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，则△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG=CD，同理得FH=CD，又AB=2CD，代入中求值．