Question

（2013•十堰）如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，-2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移

5

个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）设反比例函数的解析式为y=

k

x

（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式；
（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB=

5

，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC即可判定出四边形OABC的形状．

解答：解：（1）设反比例函数的解析式为y=

k

x

（k＞0），
∵A（m，-2）在y=2x上，
∴-2=2m，
∴m=-1，
∴A（-1，-2），
又∵点A在y=

k

x

上，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为y=

2

x

；

（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为-1＜x＜0或x＞1；

（3）四边形OABC是菱形．
证明：∵A（-1，-2），
∴OA=

12+22

=

5

，
由题意知：CB∥OA且CB=

5

，
∴CB=OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∵C（2，n）在y=

2

x

上，
∴n=1，
∴C（2，1），
OC=

22+12

=

5

，
∴OC=OA，
∴四边形OABC是菱形．

点评：本题主要考查了反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及菱形的判定定理，此题难度不大，是一道不错的中考试题．