Question

如图，四边形ABCD中，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=3，BD=4，DC=6，M为AC的中点，则BM的长是

 

．

Answer 1

分析：延长BM交CD于P，可证△AMB≌△CMP，从而得出四边形ABPD为平行四边形，根据勾股定理求出AD的长，从而求出BM的长．

解答：解：延长BM交CD于P．
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴AB∥CD，
∴∠MAB=∠MCP，
在△AMB和△CMP中，
∵

∠MAB=∠MCP AM=CM ∠AMB=∠CMP

∴△AMB≌△CMP（ASA）
∴BM=PM，CP=AB=3
又∵CD=6，
∴P为CD中点
又∵M为AC中点
∴MP为△ACD的中位线
MP∥AD
∴四边形ABPD为平行四边形
在直角三角形ABD中，
已知AB=3，BD=4，
可以用勾股定理求得AD=5
∴BM=

1

2

BP=

1

2

AD=

1

2

×5=

5

2

．
故答案为：

5

2

．

点评：考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理和勾股定理，解题的关键是得出M是BP的中点，四边形ABPD为平行四边形．