Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连接DE、BE，且∠C=∠BED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OA=10，AD=16，求AC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证AC是⊙O的切线，只要证明OA⊥AC就可以；
（2）根据△OAF∽△OCA，相似三角形的对应边的比相等，就可以求出AC的长．
解答：（1）证明：∵∠BED=∠BAD，∠C=∠BED，
∴∠BAD=∠C．（1分）
∵OC⊥AD于点F，
∴∠BAD+∠AOC=90°．（2分）
∴∠C+∠AOC=90°．
∴∠OAC=90°．
∴OA⊥AC．
∴AC是⊙O的切线．（4分）

（2）解：∵OC⊥AD于点F，
∴AF=AD=8．（5分）
在Rt△OAF中，OF==6，（6分）
∵∠AOF=∠AOC，∠OAF=∠C，
∴△OAF∽△OCA．（7分）
∴．
即OC=．（8分）
在Rt△OAC中，AC=．（10分）
点评：本题主要考查了切线的证明方法，以及垂径定理，三角形相似的性质．