Question

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．

（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；

（2）求证：2AD•NF=DE•DM．

Answer 1

（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，

∴EC=DF=×4=2，

由勾股定理得，DE==2，

∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，

∴DN=DE=×2=，

NF=EC=×2=1，

∴△DNF的周长=1++2=3+；

在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2，

所以，sin∠DAF===；

（2）证明：在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，

∵∠DAF+∠AFD=90°，

∴∠CDE+∠AFD=90°，

∴AF⊥DE，

∵点E、F分别是BC、CD的中点，

∴NF是△CDE的中位线，

∴DF=EC=2NF，

∵cos∠DAF==，

cos∠CDE==，

∴=，

∴2AD•NF=DE•DM．