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已知等边△ABC，分别以AB、BC、CA为边向外作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，则下列结论中不正确的是
[ ]
A.BC
2
=AC
2
+BC
2
-AC·BC
B.△ABC与△DEF的重心不重合
C.B，D，F三点不共线
D.S
△DEF
≠S
△ABC
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如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h
1
、h
2
、h
3
，△ABC的高为h．
在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h
3
=0，可得结论：h
1
+h
2
+h
3
=h．
在图（2），（3），（4），（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2），（3），（4），（5）中，h
1
、h
2
、h
3
、h之间的关系；（直接写出结论）图②-⑤中的关系依次是：
h
1
+h
2
+h
3
=h；h
1
-h
2
+h
3
=h；h
1
+h
2
+h
3
=h；h
1
+h
2
-h
3
=h；
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论；
（4）（附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h
1
、h
2
、h
3
、h
4
，桥形的高为h，则h
1
、h
2
、h
3
、h
4
、h之间的关系为：h
1
+h
3
+h
4
=
mh
m-n
．图（4）与图（6）中的等式有何关系．
如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p．
（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p=
；
（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是
．
小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB
1
C，再将△AB
1
C以B
1
C为轴翻折一次得△A
1
B
1
C，如图2所示．则由轴对称的性质可知，DF+FE
1
+E
1
D
2
=p，根据两点之间线段最短，可得p≥DD
2
．老师听了后说：“你的想法很好，但DD
2
的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．
（2007•临夏州）[（1）-（3），10分]如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h
1
、h
2
、h
3
，△ABC的高为h．
在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h
3
=0，可得结论：h
1
+h
2
+h
3
=h．
在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2）--（5）中，h
1
、h
2
、h
3
、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论．
（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h
1
、h
2
、h
3
、h
4
，桥形的高为h，则h
1
、h
2
、h
3
、h
4
、h之间的关系为：
m（h
1
+h
2
+h
3
）-n（h
1
+h
3
-h
4
）=（m+n）h
m（h
1
+h
2
+h
3
）-n（h
1
+h
3
-h
4
）=（m+n）h
；图（4）与图（6）中的等式有何关系？
已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h
1
，h
2
，h
3
，△ABC的高为h，请你探索以下问题：
（1）若点P在一边BC上（图1），此时h
3
=0，问h
1
、h
2
与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）若当点P在△ABC内（图2），此时h
1
、h
2
、h
3
与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）若点P在△ABC外（图3），此时h
1
、h
2
、h
3
与h之间有怎样的数量关系
h=h
1
+h
2
-h
3
h=h
1
+h
2
-h
3
．（请直接写出你的猜想，不需要说明理由．）
已知等边△ABC边长为a，D、E分别为AB、AC边上的动点，且在运动时保持DE∥BC，如图（1），⊙O
1
与⊙O
2
都不在△ABC的外部，且⊙O
1
、⊙O
2
分别与∠B和∠C的两边及DE都相切，其中和DE、BC的切点分别为M、N、M′、N′．
（1）求证：⊙O
1
和⊙O
2
是等圆；
（2）设⊙O
1
的半径长为x，圆心距O
1
O
2
为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当⊙O
1
与⊙O
2
外切时，求x的值；
（4）如图（2），当D、E分别是AB、AC边的中点时，将⊙O
2
先向左平移至和⊙O
1
重合，然后将重合后的圆沿着△ABC内各边按图（2）中箭头的方向进行滚动，且总是与△ABC的边相切，当点O
1
第一次回到它原来的位置时，求点O
1
经过的路线长度？
关 闭
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