Question

如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p．
（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p=

 

；
（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是

 

．
小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB₁C，再将△AB₁C以B₁C为轴翻折一次得△A₁B₁C，如图2所示．则由轴对称的性质可知，DF+FE₁+E₁D₂=p，根据两点之间线段最短，可得p≥DD₂．老师听了后说：“你的想法很好，但DD₂的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的中位线的性质即可求得答案；
（2）根据翻折变换的性质将△ABC翻折5次，再利用梯形的性质求解即可．

解答：解：（1）∵等边△ABC的边长为1，
∴AB=AC=BC=1，
∵D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，
∴DE=

1

2

AC=

1

2

，EF=

1

2

AB=

1

2

，DF=

1

2

BC=

1

2

，
∴△DEF的周长为p=

1

2

+

1

2

+

1

2

=

3

2

；

（2）
根据题意与由轴对称的性质可知，D₂F₂+F₂E₃+E₃D₄=p，
∵D₂与D₄分别是A₁B₁与A₂B₂的中点时D₂、F₂、E₃、D₄共线，
∴当D₂与D₄分别是A₁B₁与A₂B₂的中点时，p最小值为：

1

2

（A₁B₂+A₂B₁）=

3

2

，
∵p＜AB+AC+BC=3，
∴p的取值范围是：

3

2

≤p＜3．
故答案为：（1）

3

2

，（2）

3

2

≤p＜3．

点评：此题考查了三角形与梯形中位线的性质，以及翻折变换的性质．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用．