Question

如图，已知一张长方形纸片ABCD，AB∥CD，AD=BC=1，AB=CD=5．在长方形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
（1）请你动手操作，判断△MNK的形状一定是______；
（2）问△MNK的面积能否小于？试说明理由；
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最大值．

Answer 1

解：（1）等腰三角形．
理由：∵AB∥CD，
∴∠MNK=∠1，
由折叠的性质可得：∠1=∠NMK，
∴∠MNK=∠NMK，
∴MK=NK，
即△MNK是等腰三角形；
故答案为：等腰三角形；

（2）不能．
理由：∵AB∥CD，
∴∠KNM=∠NMB，
又∵∠KMN=∠NMB；
∴∠KMN=∠KNM，
∴KM=KN，
如图1所示：过点M作MH⊥KN于点H，
∴MH=AD=1，
∴在Rt△KMH中，KM＞MH，即KN=KM＞1，
如图2所示：KM⊥KN，此时KM最小，KM=KN=1，
∴KN≥1，
∴S_△MNK=KN•MH≥×1×1=，
∴△MNK的面积不可能小于；

（3）分两种情况讨论．
情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．
设MK=MB=x，则AM=5-x．
由勾股定理得1²+（5-x）²=x²，
解得x=2.6；
∴S_△MNK=×2.6×1=1.3；
情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．
设MK=AK=CK=x，则DK=5-x．
同理可得x=2.6．
∴S_△MNK=×2.6×1=1.3；
∴△MNK的面积最大值为1.3．
分析：（1）由AB∥CD与折叠的性质易得∠MNK=∠NMK，即可证得MK=NK，即△MNK的形状一定是等腰三角形；
（2）分两种情况分析：如图1所示：过点M作MH⊥KN于点H，如图2所示：KM⊥KN，此时KM最小，KM=KN=1，则可求得S_△MNK=KN•MH≥×1×1=；
（3）分两种情况讨论．情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．利用方程思想求解，即可求得答案．
点评：此题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形的面积问题．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．