Question

如图，AB为⊙O的直径，D为弧BC的中点，弦DE⊥AB于F，延长CD交AB的延长线于G，且BG=DE，则以下结论：①BG=BC；②F为AG的中点，其中正确的结论是

1. A.
   ①②都正确
2. B.
   ①②都错误
3. C.
   只有①正确
4. D.
   只有②正确

Answer 1

A
分析：两选项都正确，理由为：由DE垂直于AB，利用垂径定理得到B为弧ED的中点，得到弧BD与弧BE相等，再由D为弧BC的中点，得到弧CD与弧BD相等，等量代换得到弧BC与弧DE相等，等弧对等弦，得到BC=DE，而DE=BG，等量代换得到BG=BC；由BG=BC，等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换再利用等角对等边得到DA=DG，由DF垂直于AG，利用三线合一得到F为AG的中点．
解答：∵DE⊥AB，
∴B为弧DE的中点，即=，
∵D为弧BC的中点，∴=，
∴=，
∴BC=DE，又BG=DE，
∴BC=BG，故选项①正确；
连接AD，如图所示：

∵∠A与∠BCD都对弧BD，
∴∠A=∠BCD，
又BC=BG，∴∠G=∠BCD，
∴∠A=∠BCD，
∴DA=DG，又DF⊥AG，
则F为AG的中点，故选项②正确，
故选A
点评：此题考查了垂径定理，圆周角定理，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．