Question

(本小题满分9分)
如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．

⑴求A、B、C三个点的坐标．
⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．
①求证：AN=BM．
②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.

Answer 1

（1）A(－1，0)，B(3，0) C（1，2）
（2）①AN=BM，证明略。
②m=2时，S取得最小值3解析:
解：⑴令，
解得：，              
∴A(－1，0)，B(3，0)    2分
∵=，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
将x=1代入，得y=2，
∴C（1，2）.    3分
⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE=，
∴∠CAE=60º，
由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴△ABC为等边三角形，      4分
∴AB=" BC" ="AC" = 4，∠ABC=∠ACB= 60º，
又∵AM=AP，BN=BP，
∴BN = CM，       
∴△ABN≌△BCM，                
∴AN="BM. "       5分
②四边形AMNB的面积有最小值．      6分
设AP=m，四边形AMNB的面积为S，
由①可知AB=" BC=" 4，BN = CM=BP，S△ABC=×42=，
∴CM="BN=" BP=4－m，CN=m，             
过M作MF⊥BC,垂足为F,

则MF=MC•sin60º=，
∴S△CMN==•=，   7分
∴S=S△ABC－S△CMN
=－（）
=       8分
∴m=2时，S取得最小值3.     9分