题目内容
（2010•青浦区二模）如图，已知△ABC中，AB=AC=
，BC=4，点O在BC边上运动，以O为圆心，OA为半径的圆与边AB交于点D（点A除外），设OB=x，AD=y，（1）求sin∠ABC的值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点O在BC边上运动时，⊙O是否可能与以C为圆心，
BC长为半径的⊙C相切？如果可能，请求出两圆相切时x的值；如果不可能，请说明理由．
【答案】分析：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，根据等腰三角形三线合一的性质求出BE的长，再由勾股定理求出AE的长，根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，连接OD，根据等腰三角形的性质可用y表示出AF，DF及BF的值，由相似三角形的判定定理可知△OBF∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例即可得出y与x的函数关系式；
（3）先求出⊙C的半径CP的长，再根据两圆相切时两圆心的距离列方程求解即可．
解答：
解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，由AB=AC，得BE=
BC=2，（1分）
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=
，（1分）
∴
；（1分）
（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，连接OD，根据等腰三角形的性质可知，AF=DF=
，（1分）
BF=
．（1分）
∵∠OFB=∠AEB=90°，∠OBF=∠ABE，∴△OBF∽△ABE（1分）
∴
，即
（1分）
整理得
（
）（2分）
（3）可能相切．
在Rt△AEO中，∠AEO=90°，AE=1，OE=|2-x|，
则AO=
（1分）
设⊙C与BC边相交于点P，则⊙C的半径CP=
BC=1，
①若⊙O与⊙C外切，则有OA+CP=OC．
即
，
解得x=2；（1分）
②若⊙O与⊙C内切，则有|OA-CP|=OC．
∵1≤OA
，PC=1，OA≥CP，∴只有OA-CP=OC．（1分）
即
，
解得
（不合题意，舍去），（1分）
∴当⊙O与⊙C相切时，x=2．（1分）
点评：本题考查的是相似三角形判定与性质、圆与圆的位置关系，解答此题的关键是作出辅助线，构造出相似三角形，由相似三角形的性质解答．
（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，连接OD，根据等腰三角形的性质可用y表示出AF，DF及BF的值，由相似三角形的判定定理可知△OBF∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例即可得出y与x的函数关系式；
（3）先求出⊙C的半径CP的长，再根据两圆相切时两圆心的距离列方程求解即可．
解答：
解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，由AB=AC，得BE=BC=2，（1分）在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=
，（1分）∴
；（1分）（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，连接OD，根据等腰三角形的性质可知，AF=DF=
，（1分）BF=
．（1分）∵∠OFB=∠AEB=90°，∠OBF=∠ABE，∴△OBF∽△ABE（1分）
∴
，即（1分）整理得
（）（2分）（3）可能相切．
在Rt△AEO中，∠AEO=90°，AE=1，OE=|2-x|，
则AO=
（1分）设⊙C与BC边相交于点P，则⊙C的半径CP=
BC=1，①若⊙O与⊙C外切，则有OA+CP=OC．
即
，解得x=2；（1分）
②若⊙O与⊙C内切，则有|OA-CP|=OC．
∵1≤OA
，PC=1，OA≥CP，∴只有OA-CP=OC．（1分）即
，解得
（不合题意，舍去），（1分）∴当⊙O与⊙C相切时，x=2．（1分）
点评：本题考查的是相似三角形判定与性质、圆与圆的位置关系，解答此题的关键是作出辅助线，构造出相似三角形，由相似三角形的性质解答．
练习册系列答案
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（2010•青浦区二模）某中学举行了一次“世博”知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛、为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分都是正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面局部尚未完成的频率分布表和频率分布直方图解答下列问题：
（1）频率分布表中的a=______，b=______；
（2）补全频率分布直方图；
（3）在该问题的样本中，样本中位数落在______组内；
（4）若成绩在90分以上（不含90分）为优秀，则该校参加这次竞赛成绩优秀的约有______人．
频率分布表：
（1）频率分布表中的a=______，b=______；
（2）补全频率分布直方图；
（3）在该问题的样本中，样本中位数落在______组内；
（4）若成绩在90分以上（不含90分）为优秀，则该校参加这次竞赛成绩优秀的约有______人．
频率分布表：
| 分组 | 频数 | 频率 |
| 50.5-60.5 | 4 | 0.08 |
| 60.5-70.5 | a | 0.16 |
| 70.5-80.5 | 10 | 0.20 |
| 80.5-90.5 | 16 | 0.32 |
| 90.5-100.5 | 12 | b |
．
