Question

如图，已知BC为半圆O的直径，＝，AC交BF于点M，过A作AD⊥BC于D，交BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？为什么？

Answer 1

答案：
解析：

[答案]相等．理由如下： 　　解法1：如图，∵BC是直径， 　　∴∠BAC＝．∴∠ABC＋∠ACB＝． 　　∵AD⊥BC，∴∠ABD＋∠BAD＝，即∠ABC＋∠BAD＝． 　　∴∠BAD＝∠ACB．∵＝， 　　∴∠ABF＝∠ACB，即∠ABE＝∠ACB． 　　∴∠ABE＝∠BAD．∴AE＝BE． 　　解法2：如图连接OA、OF设OA交BF于点G，则 　　∵＝，∴∠AOB＝∠AOF，又BO＝FO． 　　∴AO⊥BF，即∠AGB＝． 　　∵∠ADB＝，∠AEG＝∠BED．∴∠EBD＝∠EAG． 　　∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB． 　　∴∠OBA－∠EBD＝∠OAB－∠EAG，即∠ABE＝∠BAE．∴AE＝BE． 　　解法3：如图，作出⊙O，延长AD交⊙O于H，则 　　∵AH⊥BC，BC为直径．∴＝．又＝， 　　∴＝．∴∠ABF＝∠BAH，即∠ABE＝∠BAE． 　　∴AE＝BE． 　　[剖析]要证明AE＝BE，则需证明∠ABE＝∠BAE，观察图形可知∠ACB＝∠ABE，于是转证∠ACB＝∠BAE即可，由此得到解法1，由已知可得点A平分，联想到垂径定理，连接AO，则可证明OA⊥BF，由此得到∠OBE＝∠OAE，再由OA＝OB，得∠OBA＝∠OAB，于是使得到解法2；联想到圆周角的性质，可证∠ABE与∠BAE所对的弧相等，于是便得到解法3．

提示：

[方法提炼] 　　要证圆周角相等，可证它们所对的弧相等，或证明它们都与第三个角相等，或通过全等(或其他方法)来证．在圆中，可通过垂径定理、圆周角的性质等得到相等的弧、直角等．另外同一个圆中的任意两条半径可作为某一等腰三角形的腰．