题目内容

设x=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
100
，求证：18＜x＜19．
分析：把二次根式的分母转化为比原分母大或者小的二次根式，然后根据分母有理化进行化简，求出代数式的值，进行证明．
解答：证明：x=
2
1+1
+
2
2
+
2
+
2
3
+
3
+…+
2
100
+
100
，
＞2（
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
101
+
100
），
=2（
2
-1+
3
-
2
+
4
-
3
+…+
101
-
100
），
=2（
101
-1），
＞2×9=18．
∴x＞18．
x=
2
1+1
+
2
2
+
2
+
2
3
+
3
+…+
2
100
+
100
，
＜2（
1
2
+
1
2
+1
+
1
3
+
2
+…+
1
100
+
99
），
=2（
1
2
+
2
-1+
3
-
2
+…+
100
-
99
），
=2（
1
2
+
100
-1），
=2×
19
2
，
=19，
∴x＜19．
故：18＜x＜19．
点评：本题考查的是二次根式的化简求值，根据各二次根式的分子都是1，把各二次根式的分母扩大或缩小，利用分母有理化进行计算，确定x的取值范围，证明不等式．
练习册系列答案
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课外兴趣小组的女生人数占全组人数的
1
3
，再加入6名女生后，女生人数就占原来人数的一半，课外兴趣小组原有多少人？若设原有x人，则下列方程正确的是（　　）
数学课上老师出了一道题
计算：(
1
2
+
1
3
+…+
1
2010
)(1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2010
+
1
2011
)-(1+
1
2
+
1
3
1
2010
)(
1
2
+
1
3
+…+
1
2010
+
1
2011
)
小明看后说：“太繁琐了，我是做不出来”；小亮思考后说：“若设
1
2
+
1
3
+…+
1
2010
=x，先运用整体思想将原式代换，再进行整式的运算，就简单了”．小明采用小亮的思路，很快就计算出了结果，请你根据小亮的思路完成计算．
阅读理解：
计算(1+
1
2
+
1
3
+
1
4
)×(
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
)-(1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
)×(
1
2
+
1
3
+
1
4
)时，若把(
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
)与（
1
2
+
1
3
+
1
4
)分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：
解：设(
1
2
+
1
3
+
1
4
)为A，(
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
)为B，
则原式=B（1+A）-A（1+B）=B+AB-A-AB=B-A=
1
5
．请用上面方法计算：
①(1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
)(
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
)-(1+
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+
1
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+
1
4
+
1
5
+
1
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+
1
7
)(
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
)
②(1+
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2
+
1
3
…+
1
n
)(
1
2
+
1
3
…+
1
n+1
)-(1+
1
2
+
1
3
…+
1
n+1
)(
1
2
+
1
3
…+
1
n
)．
设x=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
100
，求证：18＜x＜19．

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