题目内容

如图线段AB在x轴上，以AB为直径的圆交y轴于点C，己知AC=2 $数学公式$ ，BC= $数学公式$ ．
（1）求点A、B、C三点的坐标；
（2）设过A、B、C三点的抛物线的顶点为D，求四边形ABCD的面积：
（3）求该抛物线与圆的另一个交点坐标．

解：（1）因为AB为直径，所以∠ACB=90°，
在直角三角形ABC中，AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =5，
∵△BOC∽△BCA，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1，AO=4，
又∵△AOC∽△COB，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得OC=2，
由此可知点A、B、C三点的坐标分别为（-4，0），（1，0），（0，2）；

（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，把A、B、C三点代入解析式得，
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，

所以函数解析式为y=- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+2，
顶点坐标D为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
过点D作DE垂直于AB，垂足为E，如图：
S_{四边形ABCD}=S_△ADE+S_梯形CDEO+S_△BOC，
= $\text{[math]}$ ×（4- $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ +2）× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ×1×2，
= $\text{[math]}$ ；

（3）由上图可知，抛物线与圆的另一个交点F与点C是对称点，
所以点F的坐标为（-3，2）．
分析：（1）利用勾股定理和三角形相似的性质解决问题；
（2）求出函数解析式，得出顶点坐标，分割图形，利用梯形的面积与三角形的面积即可解答问题；
（3）利用二次函数图象上点的对成性解答即可．
点评：此题综合考查了勾股定理，三角形相似的性质，组合图形的面积，二次函数对称性，以及待定系数法球函数解析式．