Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=

4

5

，点P在线段AC上，过点P作PE⊥AB，PD∥AB交BC于D，过点D作DF⊥AB于点F．设PE的长为x，PD的长为y，已知y是x的函数，其图象经过点（

24

5

，15）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求线段AC的长；
（3）当x为何值时，矩形PEFD的面积最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）利用cosA=

4

5

表示出sinA，然后在直角三角形APE和直角三角形PCD中分别利用合适的边角关系表示出来，然后将点（

24

5

，15）代入即可求得函数解析式；
（2）将点（

24

5

，15）的坐标代入求得的函数解析式即可求得AC的长；
（3）利用矩形的面积表示出来，然后利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）∵cosA=

4

5

，
∴sinA=

3

5

，
∵Rt△APE中，sinA=

PE

AP

，
∴AP=

5

3

PE=

5

3

x，
设AC长为z，则CP=AC-AP=z-

5

3

x，
∵PD∥AB，则∠DPC=∠A，
∴Rt△PCD中，cos∠DPC=cosA=

4

5

=

PC

PD

=

z- 5 3 x

y

，
则

4

5

y=z-

5

3

x，
∵其图象经过点（

24

5

，15）
∴4×

15

5

=z-

5× 24 5

3

，
解得z=20
∴

4

5

y=20-

5

3

x，
即y=25-

25

12

x；

（2）根据上题可得AC=20；

（3）S_矩形=xy=x（25-

25

12

x）=-

25

12

x²+25x=-

25

12

（x²-12x+36-36）=-

25

12

（x-6）²+75，
∴当x=6时，矩形PEFD的面积最大，最大值为75．

点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、二次函数的最值及解直角三角形的知识，是一道综合性较强的题目．