题目内容
（2012•莆田）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2=AD•AC；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．
=
=1，求
的值；
（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若
=
=n，请探究并直接写出
的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明．
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．
| AB |
| BC |
| BD |
| DC |
| AF |
| FC |
（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若
| AB |
| BC |
| BD |
| DC |
| AF |
| FC |
分析：（1）本问是射影定理的证明．首先证明一对相似三角形△ADB∽△ABC，然后利用相似三角形比例线段的关系得到AB2=AD•AC；
（2）构造平行线，得到线段之间的比例关系，并充分利用（1）中的结论；
（3）本问是将（2）中的结论推广到一般情形，解题方法与（2）相同．注意有三种情形，如图④、⑤、⑥所示，不要遗漏．
（2）构造平行线，得到线段之间的比例关系，并充分利用（1）中的结论；
（3）本问是将（2）中的结论推广到一般情形，解题方法与（2）相同．注意有三种情形，如图④、⑤、⑥所示，不要遗漏．
解答：
（1）证明：如图①，∵BD⊥AC，∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∴
=
，
∴AB2=AD•AC．
（2）解：方法一：
如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵BE⊥AD，
∴∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF．
∵
=
=1，
∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC，
又∵∠BDE=∠CDG，
∴△BDE≌△CDG，
∴ED=GD=
EG．
由（1）可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，
∴
=
=
=4，
∴AE=4DE，
∴
=
=2．
∵CG∥BF，
∴
=
=2．
方法二：
如图③，过点D作DG∥BF，交AC于点G，
∵
=
=1，
∴BD=DC=
BC，AB=BC．
∵DG∥BF，
∴
=
=
，FC=2FG．
由（1）可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，
∴
=
=
=4，
∵DG∥BF，
∴
=
=4，
∴
=
=2．
（3）解：点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况：
（I）当点D在线段BC上时，如图④所示：
过点D作DG∥BF，交AC边于点G．
∵
=
=n，
∴BD=nDC，BC=（n+1）DC，AB=n（n+1）DC．
∵DG∥BF，
∴
=
=n，
∴FG=nGC，FG=
FC．
由（1）可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，
∴
=
=
=（n+1）2；
∵DG∥BF，
∴
=
=（n+1）2，
即
=（n+1）2，化简得：
=n2+n；
（II）当点D在线段BC的延长线上时，如图⑤所示：
过点D作DG∥BE，交AC边的延长线于点G．
同理可求得：
=n2-n；
（III）当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示：
过点D作DG∥BF，交CA边的延长线于点G．
同理可求得：
=n-n2．
（1）证明：如图①，∵BD⊥AC，∠ABC=90°，∴∠ADB=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∴
| AB |
| AC |
| AD |
| AB |
∴AB2=AD•AC．
（2）解：方法一：
如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵BE⊥AD，
∴∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF．
∵
| AB |
| BC |
| BD |
| DC |
∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC，
又∵∠BDE=∠CDG，
∴△BDE≌△CDG，
∴ED=GD=
| 1 |
| 2 |
由（1）可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，
∴
| AE |
| DE |
| AB2 |
| BD2 |
| (2BD)2 |
| BD2 |
∴AE=4DE，
∴
| AE |
| EG |
| 4DE |
| 2DE |
∵CG∥BF，
∴
| AF |
| FC |
| AE |
| EG |
方法二：
如图③，过点D作DG∥BF，交AC于点G，
∵
| AB |
| BC |
| BD |
| DC |
∴BD=DC=
| 1 |
| 2 |
∵DG∥BF，
∴
| FG |
| FC |
| BD |
| BC |
| 1 |
| 2 |
由（1）可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，
∴
| AE |
| DE |
| AB2 |
| BD2 |
| (2BD)2 |
| BD2 |
∵DG∥BF，
∴
| AF |
| FG |
| AE |
| DE |
∴
| AF |
| FC |
| AF |
| 2FG |
（3）解：点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况：
（I）当点D在线段BC上时，如图④所示：
过点D作DG∥BF，交AC边于点G．
∵
| AB |
| BC |
| BD |
| DC |
∴BD=nDC，BC=（n+1）DC，AB=n（n+1）DC．
∵DG∥BF，
∴
| FG |
| GC |
| BD |
| DC |
∴FG=nGC，FG=
| n |
| n+1 |
由（1）可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，
∴
| AE |
| DE |
| AB2 |
| BD2 |
| [n(n+1)DC]2 |
| (nDC)2 |
∵DG∥BF，
∴
| AF |
| FG |
| AE |
| DE |
即
| AF | ||
|
| AF |
| FC |
（II）当点D在线段BC的延长线上时，如图⑤所示：过点D作DG∥BE，交AC边的延长线于点G．
同理可求得：
| AF |
| FC |
（III）当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示：
过点D作DG∥BF，交CA边的延长线于点G．
同理可求得：
| AF |
| FC |
点评：本题考查了射影定理的证明及应用．第（2）问中，利用了第（1）问中所证明的射影定理；在第（3）问中，将第（2）问的结论推广到一般情形，体现了从特殊到一般的数学思想．题中涉及线段较多，比例关系比较复杂，注意认真计算不要出错．第（2）问中提供了两种解题方法，可以开拓思路；第（3）问中采用了第（2）问中的解法二，有兴趣的同学可以探究应用方法一解决．
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