Question

如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AB=6，PA=5．
求：（1）⊙O的半径；
（2）sin∠BAC的值．

Answer 1

分析：连OB，OP，由切线性质知△OBP和△OAP为直角三角形且全等，从而知道PO垂直平分AB．利用勾股定理，求出PD，在△OAD中求OA．

解答：解：（1）连接PO，OB，设PO交AB于D．
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO．
∴AD=BD=3，PO⊥AB．
∴PD=

52-32

=4．
在Rt△PAD和Rt△POA中，

AD

PD

=

AO

PA

=tan∠APD，
∴AO=

AD•PA

PD

=

3×5

4

=

15

4

．
即⊙O的半径为

15

4

．

（2）在Rt△AOD中，
DO=

AO2-AD2

=

( 15 4 )2-32

=

9

4

，
∴sin∠BAC=

OD

AO

=

9 4

15 4

=

3

5

．

点评：本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．