Question

直角梯形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=

5

，点E是一腰CD的中点，BE的延长线于AD的延长线交于点F．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）连接BD，CF，判断四边形BCFD的形状，并证明你的结论；
（3）当AB=

2

时，BF⊥CD．

Answer 1

分析：（1）根据DE=EC，AF∥BC，得出内错角相等，证明△BCE≌△FDE；
（2）由（1）的结论可判断BC∥DF且BC=DF，从而得出四边形BCDF为平行四边形；
（3）当BC=BD=

5

时，?BCFD为菱形，就可得出BF⊥CD，再用勾股定理求AB．

解答：解：（1）∵AF∥BC，
∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，
又DE=EC，
∴△BCE≌△FDE；

（2）四边形BCDF为平行四边形．
理由：∵△BCE≌△FDE，
∴DF=BC，
又∵DF∥BC，
∴四边形BCDF为平行四边形；

（3）当BC=BD=

5

时，由菱形的判定定理，可判断?BCFD为菱形，
由菱形的性质得BF⊥CD，
由勾股定理，得AB=

BD2-AD2

=

5-1

=2．
故答案为2．

点评：本题考查了直角梯形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形、菱形的判定与性质．关键是利用梯形上下两底的平行关系及中点，证明两个三角形全等．