Question

已知：如图①，②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是边BC，CD上的点．
（1）如图①，若AP⊥PQ，BP=2，求CQ的长；
（2）如图②，若

BP

CQ

=2，且E，F，G分别为AP，PQ，PC的中点，求四边形EPGF的面积．

Answer 1

分析：（1）、由同角的余角相等可得∠APB=∠PQC，故△ABP∽△PCQ，有

BP

AB

=

CQ

PC

，代入BP，AB，PC的值求得CQ的值；
（2）、取BP的中点H，连接EH，由三角形的中位线的性质可得四边形EHGF是直角梯形，由

BP

CQ

=2，设CQ=a，有BP=2a，用含a的代数式表示出EH，FG，HP，HG，两用梯形和三角形的面积公式求得S_{四边形EPGF}=S_梯形EHGF-S_△EHP的值．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=90°，
∴∠CPQ+∠PQC=90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠CPQ+∠APB=90°，
∴∠APB=∠PQC，
∴△ABP∽△PCQ，
∴

BP

AB

=

CQ

PC

，即

2

4

=

CQ

8-2

，
∴CQ=3；

（2）解法一：取BP的中点H，连接EH，由

BP

CQ

=2，
设CQ=a，则BP=2a，
∵E，F，G，H分别为AP，PQ，PC，BP的中点，
∴EH∥AB，FG∥CD，
又∵AB∥CD，∠B=∠C=90°，
∴EH∥FG，EH⊥BC，FG⊥BC，
∴四边形EHGF是直角梯形，
∴EH=

1

2

AB=2，FG=

1

2

CQ=

1

2

a，HP=

1

2

BP=a，HG=HP+PG=

1

2

BC=4，
∴S_梯形EHGF=

1

2

（EH+FG）•HG=

1

2

（2+

1

2

a）•4=4+a，S_△EHP=

1

2

HP•EH=

1

2

a•2=a，
∴S_{四边形EPGF}=S_梯形EHGF-S_△EHP=4+a-a=4；

解法二：连接AQ，由

BP

CQ

=2，设CQ=a，则BP=2a，DQ=4-a，PC=8-2a，S_△APQ=S_矩形ABCD-S_△ABP-S_△PCQ-S_△ADQ
=4×8-

1

2

•2a•4-

1

2

（8-2a）a-

1

2

×8（4-a）
=a²-4a+16
∵E，F，G分别是AP，PQ，PC的中点
∴EF∥AQ，EF=

1

2

AQ．∴△PEF∽△PAQ
∴

S△PEF

S△APQ

=

1

4

，S_△PEF=

1

4

S_△APQ=

1

4

（a²-4a+16）
同理：S_△PFG=

1

4

S_△PCQ=

1

8

a（8-2a）
∴S_{四边形EPGF}=S_△PEF+S_△PFG
=

1

4

（a²-4a+16）+

1

8

a（8-2a）=4．

点评：本题利用了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形和梯形的面积公式求解．