Question

【题目】已知点在轴正半轴上，以为边作等边，，其中是方程的解．

（1）求点的坐标．

（2）如图1，点在轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，求的度数．

（3）如图2，若点为轴正半轴上一动点，点在点的右边，连，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）不变化，．

【解析】

（1）先将分式方程去分母化为整式方程，再求解整式方程，最后检验解是原分式方程的解，即得；

（2）先证明，进而可得出，再利用三角形内角和推出，最后利用邻补角的性质即得；

（3）先证明，进而得出以及，再根据以上结论以及邻补角对顶角的性质推出，最后根据所对直角边是斜边的一半推出，即得为定值．

（1）∵

∴方程两边同时乘以得：

解得：

检验：当时，

∴原分式方程的解为

∴点的坐标为 ．

（2）∵、都为等边三角形

∴，，

∴

∴在与中

∴

∴

∵在中，

∴

∵在中，

∴

∴

∴

∵

∴．

（3）不变化，理由如下：

∵、都为等边三角形

∴，，

∴

∴在与中

∴

∴，

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴在中，

∴

∵A点坐标为

∴

∴

∴为定值9，不变化．