Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）。
【小题1】（1）(2分) 当t = 2时，AP =     ，点Q到AC的距离是     ；
【小题2】（2）（2+2分）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；并求出S的最大值。
【小题3】（3）（4分）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
【小题4】（4）（2分）当DE经过点C 时，请求出t的值．

Answer 1

【小题1】（1）1，
【小题2】（2）作QF⊥AC于点F，如图1， AQ = CP= t，∴．
由△AQF∽△ABC，，
得．∴． ∴，
即．
∵
∴当t=时，S的最大值是
【小题3】

此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC，得，
即． 解得．
②如图3，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ =90°．

由△AQP ∽△ABC，得 ，
即． 解得．
【小题4】（4）①点P由C向A运动，DE经过点C．
方法一、由，得，进而可得
，得，∴．∴．
方法二、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图4．
，．[来源:学科网ZXXK]
∵DC垂直平分PQ，∴PC=QC
由，得，解得．
②点P由A向C运动，DE经过点C，作QG⊥BC于点G，
如图5．PC=2AC-t=6-t，
据上方法二，．

解析