Question

【题目】如图，抛物线交轴于、两点，经过点，交轴于点．

（1）求抛物线的解析式及点的坐标；

（2）求的面积；

（3）若点在直线上，点在平面上，是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，，，，

【解析】

（1）把已知两点代入解析式转换为方程求解即可;

（2）把分为轴上下两部分, 设直线与轴交于点,两部分三角形可以看作同一个底边,所以求出长度,再按照三角形面积公式计算即可.

（3） 为平面上任意点,欲使以点为顶点的四边形为菱形,根据菱形的性质,菱形的一半必须为等腰三角形,经作图尝试,有四种情况,分别按照, , 解答即可.

解：（1）把,代入解析式

可得,

解得,

所以抛物线解析式为:.

令,

解得: ,

,.

（2）如图,

设直线的解析式为,与轴交于点,

把代入解析式可得,

解得: ,

所以直线为: ,

令,

解得: ,故点,

.

（3）如图,

直线解析式为,

可设,

且.

第一种情况,当时,

解得: ,

所以, 或.

第二种情况,当时,

解得: ,

所以, .

第三种情况,当时

解得: ,

所以,

综上所述,这样的点存在，有四个,分别是，，，