Question

设O为△ABC内任意一点，AO，BO，CO分别交对边于A1，B1，C1，令．求证：W≥12．

Answer 1

证明：过A作AN⊥BC于N，过O作OM⊥BC于M，
设△OBC、△OAB、△OAC的面积分别为S_a、S_c、S_b，
则AN∥OM，
∴=，
由面积公式得：=，
=，
=，
即：=，
同理：=，
=，由基本不等式的性质的：．
再由平均值不等式得=．
即W≥12，当且仅当O为三角形的重心时取等号．
∴W≥12．
分析：首先过A作AN⊥BC于N，过O作OM⊥BC于M，设△OBC、△OAB、△OAC的面积分别为S_a、S_c、S_b，根据三角形的面积公式求出、、的值，进一步计算出••的值，再由平均值不等式进一步推出W≥3，即可求出答案．
点评：本题主要考查了三角形的五心，三角形的面积公式，平均值不等式等知识点，正确利用三角形的面积公式和平均值不等式是解此题的关键．此题是一个拔高的题目，难度较大．