Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，以AB为直径作圆O恰好与CD相切于E，连AC、BD相交于F，连EF．
（1）求证：AB²=4AD•BC
（2）求证：EF∥BC

Answer 1

证明：（1）作DH⊥BC于H，如图，
∵梯形ABCD为直角梯形，且AD∥BC，
∴四边形ABHD为矩形，
∴DH=AB，AD=BH，
∴CH=CB-AD，
∵以AB为直径作圆O恰好与CD相切于E，
∴DA、CB都是⊙O的切线，
∴DE=DA，CE=CB，
∴DC=DA+CB，
在Rt△DHC中，DH²=DC²-CH²，
∴AB²=（AD+BC）²-（BC-AD）²，
∴AB²=4AD•BC；
（2）∵AD∥BC，
∴△FDA∽△FBC，
∴=，
而DE=AD，EC=BC，
∴=，
∴EF∥BC．
分析：（1）作DH⊥BC于H，根据直角梯形的性质易得四边形ABHD为矩形，则DH=AB，AD=BH，于是CH=CB-AD，由以AB为直径作圆O恰好与CD相切于E，根据切线的判定定理得到DA、CB都是⊙O的切线，然后根据切线长定理得到DE=DA，CE=CB，即DC=DA+CB，在Rt△DHC中，利用勾股定理有DH²=DC²-CH²，即AB²=（AD+BC）²-（BC-AD）²，化简即可得到结论；
（2）由AD∥BC，根据三角形相似的判定方法易得△FDA∽△FBC，则=，而DE=AD，EC=BC，于是有=，根据平行线分线段成比例定理的逆定理即可得到EF∥BC．
点评：本题考查了圆的综合题：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；运用平行线分线段成比例定理的逆定理可解决线段平行的问题；运用相似三角形的判定与性质和勾股定理可解决线段之间的关系．