Question

如图，已知直角梯形OABD，AB∥OD，其中A、D分别在y、x轴上，过B（1，k）点的双曲线y=

k

x

与BD交于C点，且∠BDO=45°，若梯形AODB面积为15，
（1）求点k的值及直线BD的解析式；
（2）求tan∠BCO的值．

Answer 1

分析：（1）利用梯形面积公式得出（AB+DO）×AO=30，求出k的值，进而得出B，D点的坐标，进而得出直线BD的解析式；
（2）根据（1）中所求得出C点坐标，进而得出S_△AOB=S_△COM，S_△CMD，即可得出S_△BCO，求出NO，即可得出tan∠BCO的值．

解答：解：（1）过B作EB⊥x轴，
∵B（1，k），
∴AO=k，AB=1，
∵∠BDO=45°，
∴BE=ED=k，
∴DO=1+k，
∵△OBD面积为15，
∴（AB+DO）×AO=30，
即（1+k）•k=30，
解得：k=5或-6，
∵B在第一象限，
∴k=5，
∴B（1，5），D（6，0）
设BD的直线解析式为y=kx+b，

k+b=5 6k+b=0

，
解得：

k=-1 b=6

，
∴y=-x+6；

（2）连接OB，过点O作ON⊥BC于点N，过点C作CM⊥OD于点M，过点O作ON⊥BC于点N，
∵∠BDO=45°，∴MC=DM，
则设C点坐标为：（6-a，a），
代入y=

5

x

解得：a=1或5（不合题意舍去），
故C点坐标为（5，1），
∴BC=

42+42

=4

2

，
∵S_△AOB=S_△COM=

1

2

×1×5=

5

2

，S_△CMD=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴S_△BCO=15-

5

2

-

5

2

-

1

2

=9

1

2

，
∵

1

2

NO×BC=9

1

2

，
∴NO=

19 2

8

，
∵BO=CO=

26

，NO⊥BC，
∴NC=BN=

1

2

BC=2

2

，
∴tan∠BCO=

NO

NC

=

19 2 8

2 2

=

19

16

．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用以及梯形面积公式和三角形面积求法等知识，根据已知得出S_△BCO，进而得出NO的长是解题关键．