题目内容
如图，⊙O既是正△ABC的外接圆，又是正△DEF的内切圆，则内外两个正三角形的相似比是 ．
【答案】分析：过O作OM⊥AC于M，ON⊥BF于N，连接OC、OF，设OC=ON=R，根据等边三角形性质推出∠MCO=∠OFN=30°，求出OM、OF的值，根据勾股定理求出CM、FN，根据垂径定理求出AC、EF值，即可求出答案．
解答：解：
过O作OM⊥AC于M，ON⊥BF于N，连接OC、OF，
设OC=ON=R，
∵⊙O既是正△ABC的外接圆，又是正△DEF的内切圆，
∴∠MCO=∠OFN=30°，
∵∠CMO=∠FNO=90°，
∴OM=
R，OF=2R，
由勾股定理得：CM=
=
R，
由垂径定理得：AC=2CM=
R，
同理EF=2NF=2
R，
即内外两个正三角形的相似比是AC：EF=1：2=
，
故答案为：
．
点评：本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，垂径定理，等边三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，主要考查学生对于有关等边三角形的内切圆与外接圆的计算的掌握，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
解答：解：
过O作OM⊥AC于M，ON⊥BF于N，连接OC、OF，
设OC=ON=R，
∵⊙O既是正△ABC的外接圆，又是正△DEF的内切圆，
∴∠MCO=∠OFN=30°，
∵∠CMO=∠FNO=90°，
∴OM=
R，OF=2R，由勾股定理得：CM=
=R，由垂径定理得：AC=2CM=
R，同理EF=2NF=2
R，即内外两个正三角形的相似比是AC：EF=1：2=
，故答案为：
．点评：本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，垂径定理，等边三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，主要考查学生对于有关等边三角形的内切圆与外接圆的计算的掌握，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
练习册系列答案
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