Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE=∠B，PE交CD于E.

（1）求证：△APB∽△PEC；

（2）若CE=3，求BP的长.

Answer 1

证明：由∠APC为△ABP的外角得
∠APC=∠B+∠BAP，
又∵∠APC=∠APE+∠CPE，∠B=∠APE，
∴∠BAP=∠CPE．
又由等腰梯形性质得∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似） 

（2）解：过A作AF⊥BC于F，过点D作DH⊥BC于H，
等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形ADHF是矩形，
∴AF=DH，FH=AD，
∵AB=DC，
∴Rt△ABF≌Rt△DCH，
∴BF=CH，

在Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2，
∴AB=4

解得：BP＝3或4