Question

如图，矩形ABCD中，AB=

2

，点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F．
（1）设BE=x，∠ADF的余切值为y，求y关于x的函数解析式；
（2）若存在点E，使得△ABE、△ADF与四边形CDFE的面积比是3：4：5，试求矩形ABCD的面积；
（3）对（2）中求出的矩形ABCD，连接CF，当BE的长为多少时，△CDF是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根据已知条件矩形ABCD和DF⊥AE，证△ABE∽△DFA，从而求出y关于x的函数解析式；
（2）假设存在，由题意△ABE、△ADF与四边形CDFE的面积比是3：4：5，可得BE=

1

2

BC，设BE=x，证△ABE∽△DFA，根据三角形的相似比，从而求解；
（3）过点C作CM⊥DF，垂足为点M，判断△CDF是等腰三角形，要分类讨论，①CF=CD；②DF=DC；③FD=FC，根据三角形相似进行求解．

解答：解：（1）∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°又∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴△ABE∽△DFA，
∴

BE

FA

=

AB

DF

，
∴y=

2

x

；（3分）

（2）∵△ABE：△ADF：四边形CDFE的面积比是3：4：5，
∴S△ABE=

1

4

S矩形ABCD，
∴BE=

1

2

BC，（1分）
设BE=x，则BC=2x，
∵△ABE∽△DFA，且△ABE：△ADF=3：4
∴

AD2

AE2

=

4

3

，∴

4x2

x2+2

=

4

3

，（2分）
解得x=1，（1分）
∴BC=2，S矩形ABCD=2

2

；（1分）

（3）①CF=CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，
则CM∥AE，DM=MF，（1分）
延长CM交AD于点G，
∴AG=GD=1，
∴CE=1，
∴当BE=1时，△CDF是等腰三角形；（1分）

②DF=DC时，则DC=DF=

2

，
∵DF⊥AE，AD=2，
∴∠DAE=45°，（1分）
则BE=

2

，
∴当BE=

2

时，△CDF是等腰三角形；（1分）

③FD=FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．
∵AB=

2

，BE=x，
∴AE=

2+x2

，
AF=

2+x2

2

∵△ADF∽△EAB，
∴

AD

AE

=

AF

EB

，

2

2+x2

=

2+x2 2

x

，
x²-4x+2=0，
解得x=2±

2

，
∴当BE=2-

2

时，△CDF是等腰三角形．（1分）

点评：此题难度比较大，主要考查矩形的性质、相似三角形的性质及等腰三角形的判定，考查知识点比较多，综合性比较强，另外要注意辅助线的作法．