Question

（2013•南通二模）如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC=2，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第n个内接正方形的边长为（　　）

• A．

  2

  3

  ?(

  1

  2

  )n-1
• B．

  2 2

  3

  ?(

  1

  2

  )n-1
• C．

  2

  3

  ?(

  1

  2

  )n
• D．

  2 2

  3

  ?(

  1

  2

  )n

Answer 1

分析：首先根据勾股定理得出BC的长，进而利用等腰直角三角形的性质得出DE的长，再利用锐角三角函数的关系得出

EI

KI

=

PF

EF

=

1

2

，即可得出正方形边长之间的变化规律，得出答案即可．

解答：解：∵在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°，BC=

22+22

=2

2

，
∵在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；
∴EF=EC=DG=BD，
∴DE=

1

3

BC，
∴DE=

2 2

3

，
∵取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，
∴

EI

KI

=

PF

EF

=

1

2

，
∴HI=

1

2

DE=（

1

2

）^2-1×

2 2

3

，
则第n个内接正方形的边长为：

2 2

3

×（

1

2

）^n-1．
故选：B．

点评：此题主要考查了正方形的性质以及数字变化规律和勾股定理等知识，根据已知得出正方形边长的变化规律是解题关键．