Question

在平面直角坐标系XOY中，直线l₁过点A（1，0）且与y轴平行，直线l₂过点B（0，2）且与x轴平行，直线l₁与直线l₂相交于点P．点E为直线l₂上一点，反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象过点E与直线l₁相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；
（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据反比例函数中k=xy进行解答即可；
（2）当k＞2时，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，再求出S_△FPE=

1

4

k²-k+1，根据S_△OEF=S_矩形OCGD-S_△DOF-S_△EGF-S_△OCE即可求出k的值，进而求出E点坐标；
（3）①当k＜2时，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²，求出k的值，进而可得出E点坐标；
②当k＞2时，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，

BM

FQ

=

EM

FM

，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²，求出k的值，进而可得出E点坐标．

解答：解：（1）若点E与点P重合，则k=1×2=2；

（2）当k＞2时，如图1，
点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，
∵PF⊥PE，
∴S_△FPE=

1

2

PE•PF=

1

2

（

k

2

-1）（k-2）=

1

4

k²-k+1，
∴四边形PFGE是矩形，
∴S_△PFE=S_△GEF，
∴S_△OEF=S_矩形OCGD-S_△DOF-S_△EGF-S_△OCE=

k

2

•k-

k

2

-（

1

4

k²-k+1）-

k

2

=

1

4

k²-1
∵S_△OEF=2S_△PEF，
∴

1

4

k²-1=2（

1

4

k²-k+1），
解得k=6或k=2，
∵k=2时，E、F重合，
∴k=6，
∴E点坐标为：（3，2）；

（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF，
①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，
∵△FHM∽△MBE，
∴

BM

FH

=

EM

FM

，
∵FH=1，EM=PE=1-

k

2

，FM=PF=2-k，
∴

BM

1

=

1- k 2

2-k

，BM=

1

2

，
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²，
∴（1-

k

2

）²=（

k

2

）²+（

1

2

）²，
解得k=

3

4

，此时E点坐标为（

3

8

，2），

②当k＞2时，如图3，
只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，

BM

FQ

=

EM

FM

，
∵FQ=1，EM=PF=k-2，FM=PE=

k

2

-1，
∴

BM

1

=

k-2

k 2 -1

，BM=2，
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²，
∴（k-2）²=（

k

2

）²+2²，解得k=

16

3

或0，但k=0不符合题意，
∴k=

16

3

．
此时E点坐标为（

8

3

，2），
∴符合条件的E点坐标为（

3

8

，2）（

8

3

，2）．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质解答．